基于熱激活晶體塑性有限元與疲勞指示因子極值統計的晶粒尺寸、長寬比及晶體織構對TA15鈦合金疲勞裂紋萌生行為與疲勞壽命分散性的調控機制研究

TA15鈦合金因其高比強度、優良的耐熱性和出色的疲勞性能，在航空航天承力結構中得到廣泛應用 [1?3]。飛行器服役期間，構件普遍承受復雜的循環載荷，其疲勞裂紋往往在晶粒尺度的局部區域萌生，因此材料的微觀組織特征對疲勞響應及疲勞壽命分散性具有決定性影響 [4]。對于鈦合金而言，晶粒尺寸、晶粒形狀、相組成以及織構的不同都會影響位錯在晶粒內部以及晶粒之間的運動，導致局部應力應變分布不均勻程度的不同，最終影響疲勞裂紋萌生位置 [5?6]。

晶體塑性有限元(crystal plasticity finite element method, CPFEM)是一種將晶體塑性理論嵌入有限元框架的多尺度計算力學方法，通過模擬材料在晶粒尺度上的塑性變形，能夠描述晶粒取向、滑移系激活、晶界交互等微觀因素對金屬材料的力學響應的影響。近年來，晶體塑性有限元在研究金屬的微觀塑性變形機理 [7?9]、多晶材料力學性能預測 [10?12]、損傷與失效機制 [13?15]和先進制造工藝優化 [16?18]等領域廣泛應用。針對疲勞問題，研究者們引入疲勞指示因子(fatigue indicator parameters, FIP)進行疲勞行為的定量分析，對疲勞裂紋萌生進行準確預測 [19?20]。考慮到多晶有限元模型的分散性，研究者們進一步引入極值理論對疲勞指示因子的極值分布進行統計分析，從而量化疲勞壽命分散性，還可定量評估各類因素對疲勞壽命分散性的貢獻。Gu等 [21]晶體塑性有限元模型數量對極值分析結果的影響，指出100個模型即可穩定估計Gumbel分布參數，并通過1000個有限元模型模擬驗證了預測可靠性。Przybyla等 [22]為研究IN100合金的高循環疲勞微觀結構敏感性，使用基于Fatemi-Socie準則的疲勞指示因子，實現了200個有限元模型的疲勞指示因子極值的Gumbel分布擬合，并通過模擬驗證了立方滑移在疲勞裂紋形成中的潛在作用。Zheng等 [23]為研究缺口件的缺口尺寸導致的疲勞分散差異，提出了以應力梯度影響因子、等效應力與縱向應變為變量的統計標準差作為疲勞指示因子，實現了不同位移載荷、載荷比和缺口直徑下的缺口疲勞分散性預測。Yang等 [24]為研究TC4鈦合金高循環疲勞壽命分散性，基于CPFEM和疲勞指示因子實現了不同應力水平下疲勞壽命分散性的量化評估，并通過模擬驗證了載荷降低導致壽命更長且更分散的規律。

這些工作表明，CPFEM結合極值統計是研究疲勞分散性的有力工具，而目前金屬材料疲勞分散性的研究仍多集中于實驗研究。同時，針對TA15鈦合金的研究主要也是通過調控工藝參數和熱處理路線改變微觀組織，并進一步通過試驗評估性能差異。但僅靠工藝調控難以系統覆蓋參數空間，且試驗成本高、周期長，難以獲得足夠的數據來量化晶粒尺寸、長寬比與織構等因素對疲勞分散性的影響。

基于以上認識，本研究以TA15鈦合金為研究對象，搭建熱激活晶體塑性本構模型，結合疲勞指示因子的極值統計分析，系統研究晶粒尺寸、長寬比和織構對TA15鈦合金疲勞裂紋萌生和疲勞分散性的影響，揭示微觀結構控制疲勞行為隨機性的內在機制，以期與相關實驗研究形成互補，為TA15合金的組織優化與可靠疲勞壽命預測提供更具機制性、效率更高的研究途徑。

1、有限元計算框架

1.1　晶體塑性本構模型

在連續介質力學中，材料變形梯度張量 F可被分解為彈性部分 F e 和塑性部分 F p ，其表達式為

當外力達到臨界值時，晶體通過特定滑移系的位錯運動產生塑性變形。因此，晶體塑性理論引入滑移率，以便從介觀尺度描述晶體內的位錯運動。與 F p 相關的塑性速度梯度 L p 可以用晶體中第 α個滑移系的滑移率 γ ˙   (α)表示為

式中： n為激活滑移系的總數量； m (α)和 n (α)分別為第 α個滑移系的滑移方向和滑移面矢量； 為張量積運算符。

使用第 α個滑移系的分切應力 τ (α)作為狀態變量，建立忽略反向位錯躍遷的熱激活流動準則 [25]：

式中： γ ˙   0 為參考滑移率； ΔF為亥姆霍茨自由能； K B 為晶格玻爾茲曼常數，取值 1.380 649 ×  10 ?23 J/K； T為開爾文溫度； p和 q為敏感系數； χ (α)為第 α個滑移系的背應力，表示滑移面上方向性位錯滑移阻力； τ c (α) 為第 α個滑移系的臨界分切應力，表示滑移面上各向同性位錯滑移阻力。

背應力會伴隨位錯攀移、湮滅等行為發生回復作用，降低內應力勢，體現為內變量演化方程中具有負反饋作用的回復項。使用Armstrong–Frederick模型 [26]描述背應力帶來的硬化作用為

式中： h為硬化參數； h D 為動態恢復參數。

由于晶體中存在多個獨立滑移系，不同滑移系之間存在相互作用，第 β個滑移系會影響第 α個滑移系的硬化行為，即有

式中， h αβ 為硬化模量，其數學表達式為

式中： q αβ 為自硬化與潛在硬化的強度系數； h 0 為初始硬化模量； τ s 為飽和滑移阻力； a為硬化系數。

1.2　疲勞指示因子

在塑性變形過程伴隨著不可逆的能量耗散。在載荷循環中，局部區域由于持續的塑性滑移會耗散更多的能量。這種塑性應變能可以認為是驅動疲勞損傷演化的直接動力。通過計算并定位高應變能耗散區域，可以更準確地推測出疲勞裂紋最可能萌生的位置。選取應變能耗散作為疲勞指示因子進行后續研究，其表達式為

2、有限元模型

2.1　有限元模型與邊界條件

使用商用有限元分析軟件ABAQUS的UMAT子程序可以實現晶體塑性本構模型和 FIP w 的計算。針對所使用的TA15鈦合金進行了電子背散射衍射分析，獲取真實微觀結構的統計性表征數據以建立代表體積單元(representative volume element, RVE)模型，可以準確捕捉材料微觀結構特性帶來的局部變形行為。所用TA15鈦合金相組成中 α相約占99.2%，忽略 β相，將 α-Ti晶粒簡化為擬合橢圓進行統計性表征，如圖所示。晶粒的平均擬合橢圓長軸為 3.2 μm，平均長寬比為4.2，晶粒取向分布存在明顯織構。

基于晶粒尺寸統計數據，使用開源程序DREAM.3D生成 20 μm ×  20 μm ×  20 μm多晶RVE模型，對每個晶粒賦予歐拉角表示的晶粒取向信息。模型選用六面體八節點線性減縮積分單元(C3D8R)，邊界條件如圖所示， xOz面限制沿 y軸的平動和繞 x軸、 z軸的轉動，即 U y   =  UR x   =  UR z   =  0； yOz面限制沿 x軸的平動和繞 y軸、 z軸的轉動，即 U x   =  UR y   =  UR z   =  0； xOy面限制沿 z軸的平動和繞 x軸、 y軸的轉動，即 U z   =  UR x   =  UR y   =  0；沿 y軸施加單軸拉伸載荷，其余未約束表面允許自由變形，以反映多晶協調變形的自然響應。

2.2　材料參數標定

晶體塑性本構模型的參數是在相關文獻的基礎上 [27]，通過TA15靜力拉伸的實驗結果與數值模擬結果相對比的試錯法得到。靜力拉伸實驗獲取的所用TA15鈦合金力學性能如表1所示。

表1　TA15鈦合金力學性能 Table 1 Mechanical performance of TA15 titanium alloy

臨界分切應力作為關鍵的微觀參量，其取值決定了各滑移系的啟動難度。有研究表明，HCP結構的柱面滑移系激活最容易，臨界分切應力與基面滑移系相差不大，錐面滑移系激活最困難 [28]。這里對臨界分切應力的取值準則是保持柱面滑移系的臨界分切應力值最小，錐面滑移系的臨界分切應力值最大。

通過試錯法得到的晶體塑性本構模型參數如表2所示， α-Ti的滑移系組成及對應的臨界分切應力如表3所示。使用這些參數進行TA15的靜力拉伸數值模擬，圖為RVE模型的應力云圖，可以發現受微觀結構各向異性的影響，微觀尺度下的應力應變是不均勻的，需進行均質化處理。提取所有單元積分點 y軸方向的正應力和正應變進行體積加權平均，就可得到單軸拉伸宏觀均質化應力應變，計算公式為

式中： σ ˉ ij 、 ε ˉ ij 分別為宏觀均質化應力張量和宏觀均質化應變張量， i, j =  1, 2, 3； σ ij 、 ε ij 分別為微觀應力張量和微觀應變張量； V為材料總體積。

如圖所示，數值模擬的宏觀應力應變曲線與TA15靜力拉伸實驗所得數據吻合良好。

表2　TA15鈦合金的晶體塑性本構模型參數 Table 2 Crystal plasticity constitutive model parameters for TA15 titanium alloy

（注：表中 q αβ 欄原文排版緊鄰 a欄，此處按原文結構保留）

表3　 α-Ti的滑移系組成及對應的初始臨界分切應力 Table 3 Slip system composition of  α-Ti and initial critical resolved shear stress

3、極值統計分析

3.1　極值理論

在疲勞分析中，關注的并非是材料的整體平均響應，而是其在微觀尺度上最危險的、可能引發疲勞裂紋萌生的局部極端響應，即關注疲勞指示因子的最大值。疲勞裂紋的萌生往往由疲勞指示因子的最大值所主導。金屬在微觀尺度上的非均勻性是導致疲勞分散性的主要原因之一，基于微觀結構統計性表征結果建立的RVE模型同樣也具有一定隨機性。因此不同RVE模型對應的疲勞指示因子云圖也不同。通過大量RVE模型計算得到的疲勞指示因子最大值數據可用極值理論進行分析以研究疲勞分散性以及微觀結構的影響。

極值理論指出，獨立同分布隨機變量最大值序列的標準化分布，必然收斂于以下3種極值分布之一：Gumbel分布(Ⅰ型)、Fréchet分布(Ⅱ型)或Weibull分布(Ⅲ型)。這3種分布可以被統一到1個分布族中，即廣義極值分布(generalized extreme value, GEV)。對于 N個極值 (y 1  , y 2  , … , y N  )，其累積分布函數 G(y)可表示為

式中：參數 μ、 b、 k分別為位置參數、尺度參數和形狀參數。其中，形狀參數 k決定了所屬的分布類型以及統計特征。當 k =  0時，它表示Gumbel分布；當 k >  0時，它表示Fréchet分布；當 k <  0時，它表示Weibull分布。

對于形式最簡單的Gumbel分布，位置參數 μ決定了分布的中心位置，它代表了最可能出現的極值水平。尺度參數 b決定了分布的離散程度或寬度， b越大，分布越扁平，極值的波動性越大。其對應的概率密度函數 P(y)為

將 N個極值進行升序排列，各極值對應的累積概率 P(y j  )近似為

將式(12)進行坐標變換以轉換為線性關系，可以直觀判斷樣本對當前分布函數的服從情況和對比不同樣本之間的差異，即

RVE模型數量會顯著影響疲勞指示因子極值樣本的統計，為保證極值統計結果的可靠性，需要對足夠數量的RVE模型進行數值模擬。Gu等 [21]的研究指出，隨著RVE模型數量的增加，其極值分布的統計參數將逐漸收斂。因此，綜合考慮計算成本與統計需求，每種微觀結構生成100個RVE模型組成統計體積單元(statistical volume elements, SVEs)，用于獲取可信的疲勞指示因子極值統計特征。

3.2　疲勞指示因子極值分布

經過疲勞升降法試驗得到TA15鈦合金光滑試件在應力比 R =  0.1下的應力升降圖如圖所示，可以計算出其常溫疲勞極限為 634 MPa。為研究 FIP w 最大值統計特征能否反映實際的疲勞壽命分散性，選擇了在疲勞極限以上的2個載荷下進行晶體塑性有限元模擬與實驗驗證，分別為 R =  0.1、峰值應力 S max   =  660 MPa和 R =  0.1、峰值應力 S max   =  720 MPa。經過循環加載模擬可知，在約20個循環后 FIP w 的增量已基本趨于穩定，材料進入穩定循環階段。因此，后續分析均取第20個循環的 FIP w 作為研究對象。

模擬所得不同載荷下的 FIP w 最大值樣本進行廣義極值分布擬合的結果如圖所示。 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下 FIP w 最大值分布的形狀參數 k =  0.36 >  0，表明該樣本屬于Fréchet型重尾分布。這一特征說明該載荷下TA15鈦合金的微觀變形響應呈現顯著的極端值敏感性，即局部晶粒的應力/應變集中并非呈現溫和的隨機波動，而是具備較高概率產生遠離平均水平的極大值。這意味著裂紋萌生更易由少數取向不利、局部變形劇烈的"危險晶粒"主導，而非整體平均響應決定，即使在較低載荷下也可能因為局部的極值點而發生早期斷裂。而 R =  0.1、 S max   =  720 MPa下 FIP w 最大值分布的形狀參數 k =  0.006 ≈  0，表明該樣本更接近Gumbel分布，此時晶粒無論取向是否不利，普遍發生較大塑性變形。該載荷下的疲勞行為主要由宏觀力學狀態控制，微觀結構的影響被弱化，分散性降低。

不同載荷 FIP w 最大值分布特征的區別最終表現在疲勞壽命的區別，在遠離疲勞極限的高應力載荷時，疲勞壽命將會更低，但疲勞分散程度將會減小。對應載荷下的疲勞試驗結果表4所示。 R =  0.1， S max   =  720 MPa下TA15鈦合金擁有更低的疲勞壽命均值和變異系數，趨勢與模擬結果一致。這說明晶體塑性本構模型和 FIP w 極值統計能夠捕捉到疲勞分散性的載荷相關性。

表4　TA15光滑試件疲勞實驗結果 Table 4 Fatigue test results for TA15 smooth specimens

Fréchet分布的概率密度函數難以通過坐標變換進行線性化，無法直觀對比不同微觀結構樣本之間的極值差異。為研究晶粒尺寸、長寬比與織構對低應力載荷 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下疲勞分散性的影響，進一步對 FIP w 取對數后進行廣義極值分布擬合，發現得到形狀參數 k =  ?0.08 ≈  0，可近似視為Gumbel分布。概率密度如圖所示，經線性化處理后對數 FIP w 的樣本點與理論直線擬合良好，表明采用對數變換能夠顯著改善分布可對比性。因此，后續極值統計均基于對數 FIP w 的Gumbel分布假設。

4、結果與討論

4.1　晶粒尺寸對疲勞分散性的影響

為了研究晶粒尺寸的影響，在TA15鈦合金網籃組織 α相晶粒合理尺寸范圍內 [29]，構建了平均晶粒尺寸分別為 2.2 μm、 3.2 μm(原始組織)和 4.2 μm的3組SVE模型，其余參數保持一致。各組模型和計算所得的對數 FIP w 極值概率分布如圖所示，擬合參數如表5所示。

從Gumbel概率圖中可以看出，隨著平均晶粒尺寸的增加，位置參數 μ增大，擬合直線明顯向右移動，即在相同的累積概率下，大晶粒模型對應的FIP值更高。根據 FIP w 的物理意義，較高的應變能耗散意味著局部損傷積累更快，疲勞裂紋萌生壽命更短。這種晶粒尺寸效應在相關文獻中也有報道 [30]，可用經典Hall–Petch關系進行解釋：晶粒尺寸增大導致晶界強化作用減弱，位錯在晶粒內部的平均自由程增加，更容易在晶界處發生塞積，從而引起更嚴重的局部塑性變形和能量耗散。同時晶粒尺寸的增大也導致尺度參數 b增大。這表明晶粒尺寸的增大不僅會降低疲勞壽命，還會顯著增加疲勞性能的分散性。因此，細化晶粒不僅有助于提高TA15鈦合金的疲勞性能，對降低疲勞壽命的分散性也具有重要意義。

表5　不同晶粒長軸尺寸下 FIP w 極值分布統計參數 Table 5 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under different grain long axis dimensions

4.2　晶粒長寬比對疲勞分散性的影響

針對鈦合金中常見的等軸晶粒和細長針狀晶粒，構建了晶粒平均長寬比分別為1、4.2和10的3組SVE模型，以探究晶粒長寬比對疲勞行為的影響。各組模型和計算所得的對數 FIP w 極值概率分布如圖所示，擬合參數如表6所示。

與晶粒尺寸的顯著影響不同，不同晶粒長寬比下的 FIP w 極值概率分布曲線表現出較高程度的重合。相比于等軸晶粒，細長晶粒的 μ和 b都更小，說明晶粒的細化可以在一定程度上降低 FIP w 極值，同時減小分散性。但細長晶之間的區別并不大，可以認為當前的載荷條件與微觀結構配置下，TA15鈦合金的疲勞裂紋萌生行為及其分散性對細長晶的長寬比的變化并不敏感。這一現象在Lakshmanan等 [31]的研究中也有出現，該研究表明，大多數條件下等軸晶表現出更高的疲勞驅動力，且在特定織構下晶粒長寬比對疲勞指示因子極值概率分布的影響有限。

造成這一現象的原因除了有限元模型尺寸的限制，也可以從微觀滑移機制進行解釋。雖然細長的晶粒形狀改變了晶界的幾何分布，但在晶體塑性變形中，滑移系的激活主要受晶粒取向和局部應力狀態控制，而非單純的幾何形貌 [32]。首先，當晶粒的平均等效尺寸保持相對恒定時，單純拉長晶粒并未顯著改變位錯在晶粒內部運動的平均自由程的量級，因此未產生顯著的強化或軟化效應。其次，對于 α-Ti這類密排六方金屬，其塑性變形主要由柱面滑移主導。在多晶體變形過程中，取向有利的"軟"晶粒往往決定了 FIP w 的最大值。這意味著，只要最危險晶粒的取向和尺寸處于相似水平，其幾何形狀的拉長或扁平化對局部最大塑性耗散能的積累影響有限。

表6　不同長寬比下 FIP w 極值分布統計參數 Table 6 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under different aspect ratios

4.3　晶體織構對疲勞分散性的影響

為了揭示織構對疲勞性能的影響，將本研究中TA15鈦合金的原始織構與隨機織構進行對比分析。隨機織構的生成是為每個晶粒賦予一個完全隨機的、等概率的取向，從而在宏觀上實現各向同性的理想狀態。2組模型計算所得對數 FIP w 極值統計結果如圖所示，擬合參數如表7所示。

對比發現，TA15原始織構對應的 FIP w 數據點和擬合直線整體位于隨機織構的左側，且尺度參數 b更小。這表明TA15當前的織構相較于隨機織構而言，更不易誘發疲勞裂紋萌生，且表現出更小的疲勞分散性。說明所用TA15鈦合金對織構的調控是有利于工程使用的。

同時，對絕大部分SVEs獲取的對數 FIP w 極值進行Gumbel分布擬合的決定系數 R 2都大于0.95，說明對數 FIP w 極值服從Gumbel的假設較為合理。而隨機織構下的決定系數 R 2小于0.90，其概率分布的尾部相較于理論直線偏移較大，說明織構對 FIP w 極值的分布類型也會有一定影響。

表7　不同織構下 FIP w 極值分布統計參數 Table 7 Statistical parameters of  FIP w extreme value distribution under textures

5、總結

通過疲勞指示因子極值的統計分析，在接近疲勞極限的載荷 R =  0.1、 S max   =  660 MPa下，TA15鈦合金 FIP w 最大值服從Fréchet型重尾分布，表明疲勞行為受少數"危險晶粒"主導。經對數變換后可近似為Gumbel分布，適用于直觀比較不同微觀結構的疲勞分散性差異。在遠離疲勞極限的載荷 R =  0.1、 S max   =  720 MPa下，TA15鈦合金 FIP w 最大值服從Gumbel分布，疲勞壽命更低，但疲勞分散程度也更小。

晶粒尺寸是影響疲勞分散性的關鍵因素。隨著平均晶粒尺寸增大， FIP w 最大值顯著上升，疲勞分散性加劇，符合Hall–Petch關系與局部塑性集中機制。

細長晶粒相較于等軸晶粒的TA15鈦合金具有更高的疲勞性能和更低的分散性。但在本文研究的載荷與組織配置下，細長晶長寬比變化未引起 FIP w 極值與分散性的顯著改變，與有限元模型尺寸限制和微觀變形機制有一定的關系。

晶體織構對疲勞性能具有重要調控作用。TA15的給定織構相較于隨機織構表現出更低的 FIP w 極值和更小的分散性，說明現有織構狀態有利于提升材料的疲勞抗性與可靠性。

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（注，原文標題：微觀結構對TA15鈦合金疲勞分散性影響研究_胡宏瑞）